哥德尔定理

数学 - 哥德尔定理

库尔特·哥德尔

库尔特·弗雷德里希·哥德尔（德语：Kurt Friedrich Gödel，1906年4月28日－1978年1月14日），出生于奥匈帝国的数学家、逻辑学家和哲学家，维也纳学派（维也纳小组）的成员。哥德尔是二十世纪最伟大的逻辑学家之一，其最杰出的贡献是哥德尔不完备定理和连续统假设的相对协调性证明。

哥德尔1906年出生于捷克的布尔诺（原奥匈帝国），毕业于维也纳大学，1940年移民美国，任职于普林斯顿高等研究院（IAS）直至1976年退休。1978年，哥德尔于新泽西州的普林斯顿市去世。

以上摘录自wikipedia

哥德尔数

哥德尔的主要策略是把关于某个公理系统的语句映射到一个特定的系统内的语句，即映射到一个关于数字的语句。这个映射使公理系统能够有效地谈论自身。

这个过程的第一步是将任何可能的数学语句或一系列语句映射到一个被称为哥德尔数的唯一数字。

比如，考虑$0\equiv0$这个公式的三个符号对应的哥德尔数是6，5，6 。哥德尔需要将这三个数字的序列改为一个唯一的数字，也就是其他符号序列不会生成的数字。 为此，他采用前三个质数（2，3，5 ），将每个符号的哥德尔数作为这个序列相同位置的指数，并将它们相乘。因此 变为 ，即 。该映射之所以有效，是因为没有两个公式会有相同的哥德尔数。 哥德尔数是整数，而整数仅以一种方式分解为质数。因此，的唯一质数分解是 ，这意味着只有一种可能的方法可以解码这个哥德尔数：公式。

$$a\equiv b\pmod n$$